有理数和无理数的区别举例子(有理数和无理数的本质区别)

小皮 34 0

本题:要么挺有意思,即有解,前提是不要涉及无穷大或无穷小;要么不可思议,即无解,前提是必须涉及无穷大或无穷小。

有理数和无理数的区别举例子(有理数和无理数的本质区别)-第1张图片

▲那些高智商的悖论与不可能的图片,您知道的有哪些?实数范围,有一个绝对零悖论大家知道,第二次数学危机,是指凡是涉及无穷小的任何参量都可能导致不存在或无意义。

这个危机原因在于,若一个实数x涉及无穷小,即:dx=1/∞→0,则会涉及绝对零“0”。

这里的0=Ø=虚无——作为纯数学理念——在现实世界中是“不存在”的,也是无意义的。

在量子力学中,把量子归于零维质点,即量子体积v=0=Ø,导致密度无穷大灾难;在广义相对论中,把空间归于纯几何弯曲空间,即真空质量m=0=Ø,导致超距作用灾难。

可见,在数学世界里,零0与空集Ø,有时是同一个意思。虽然集合论规定零属于实数集,空集不属于实数集。但是这个规定在许多问题里几乎没什么约束力。

有理数和无理数的区别举例子(有理数和无理数的本质区别)-第2张图片

▲这张平面图,你可能感觉是三维的。实数分类,有一个概率学悖论在实数集范围内,就概率而言,任意一个实数,可能是有理数,也可能是无理数,可选择概率各有50%。

其一方面,这与常识——有理数是离散的少数,而无理数是连续的多数——是不一致的。

另一方面,根据定义,无理数小数部分是无限不循环小数,有理数小数部分是可循环小数,它们都可以写成:

f(x)=0.x₁x₂,...,xₙ

=10⁻¹x₁+10⁻²x₂+,...,10⁻ⁿxₙ

=Ω+dx,其中,

Ω=10⁻¹x₁+10⁻²x₂+,...,是有理数;

dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)是一个无穷小量。

可见,任意无理数的小数部分,总可等于有理数Ω与无穷小量dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)之和。

这个无穷小量的系数xₙ,不外乎是不大于9的自然数之一,即:xₙ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

不管是有理数还是无理数,其无穷小量的极限都是零,dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)≈0,有两个取向:

就有理数而言,xₙ是唯一确定的,对应的dx是有理数,这大概是有理数的本质。

就无理数而言,xₙ是不可确定的,对应的dx是无理数,这大概是无理数的本质。

换句话说,要么出现有理数(R=Ω+dx),要么出现无理数(I=Ω+dx),它们的概率都是50%。

而就f(x)的有理数部分(Ω),有理数(R)与无理数(I)的数值是一样一样的;因为无穷小量部分(dx)没什么实际意义。

由此我们不妨说,就概率学而言,实数集中的有理数与无理数的个数比例是1:1。

有理数和无理数的区别举例子(有理数和无理数的本质区别)-第3张图片

换一个思路讨论有理数与无理数的区别由于有理数与无理数的区别,归根结底,取决于小数部分的那个无穷小量dx=10⁻ⁿXₙ(n→∞)的n的确定性。

故我们若把有理数假设为纯小数x,相关的无理数假设为sinx=sin(π/n)(nπ),有理数所含无穷小量为dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞),无理数所含的无穷小量dx=d(sinx)=d(sin(π/n)(nπ))。

由于d(sinx)/dx=limsinx/x(x→0)=1,可见,有理数的实质部分dx与无理数实质部分d(sinx),就实用数值而言,没什么区别。

换句话说,有理数与无理数的概率是完全平权的,所谓“有理数离散vs无理数连续”,不过是数学哲学理念上的“意淫”而已。

必须清醒认识到,现实世界绝不存在完备的数学关系,天体的绕旋轨道,没有一个是封闭的椭圆,更不是理想的圆圈。粒子的轨迹本该是连续的,可是测量结果似乎是跃迁式的。

有理数和无理数的区别举例子(有理数和无理数的本质区别)-第4张图片

▲夸克环的半径是质子的半径吗?氕原子的原子核的半径究竟如何确定?有无理数意义吗?在物理世界,只要测量单位足够小,测量精度足够精细,例如精度在10⁻⁷象如3.1415926之有理数,相比于π,都可以认为是连续值。

事实上,精确性尺度要与测量对象相对应,并不是越精细越好,这里还涉及人择原理。

有理数和无理数的区别举例子(有理数和无理数的本质区别)-第5张图片

▲小质量的天体,真的是严格按封闭的椭圆轨道围绕大质量天体焦点循环的吗?难道大质量天体就固定在那里一动不动的么?这与有理数与无理数的区别有什么瓜葛呢?

例如,测量海岸线,我们通常用千米,这样可以忽略精细结构的弯弯曲曲。

本来以[千米]精度测量的1万千米海岸线,如果以[微米]精度,其测量结果可能是100万千米。

Stop here。物理新视野与您共商物理前沿与中英双语有关的疑难问题。

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